Цікава математика

Історія розвитку натурального числа

Розглядаючи питання формування поняття натурального числа у дітей, треба мати чіткі уявлення про розвиток цього поняття в історичному аспекті - філогенезі. Вивчення історії математики, зокрема періоду зародження математики, дає змогу зрозуміти основні закономірності виникнення перших математичних понять (про множину, число, величину, про арифметичні дії, системи числення та ін.) і використовувати ці закономірності з урахуванням досвіду сучасних дітей при навчанні їх математики.

Як показують дослідження з історії математики, поняття натурального числа виникло на ранніх ступенях розвитку людського суспільства, коли у зв'язку з практичною діяльністю виникла потреба якось кількісно оцінювати сукупності. Найдавніші тексти - єгипетські папіруси і вавілонські клинописні таблички - свідчать про досить високу математичну культуру стародавніх єгиптян і вавілонян. (Додаток А). На той час вони залишили позаду перші етапи розвитку, а тим більше формування найпростіших математичних понять - числа і геометричної фігури.

Ось тому, щоб вивчити зародження математичних знань, учені вдаються до опосередкованих джерел (даних етнографії, філології, спостереження над формуванням математичних уявлень у дітей в ранньому дитинстві) і , особливо до вивчення математичних знань народів , які до недавнього часу залишались на низькому ступені культурного розвитку. Однак хижацька експлуатація колоній капіталістичними країнами призвела майже до повного винищення багатьох племен і навіть деяких народів, внаслідок чого наука втратила величезні можливості дослідження перших кроків культурного розвитку людства через які в різні часи пройшли народи.

На полюванні, у повсякденній господарській діяльності первісній людині на кожному кроці треба було мати справу з множинами різних предметів та явищ, оцінювати і порівнювати їхні потужності. Спочатку вона обходилась без лічби, оскільки самого поняття числа і операції лічби ще не було. Вона не знала кількості пальців на своїх руках, собак у зграї, овець в отарі. Спочатку було знайдено спосіб розрізняти , всі вони є в наявності чи ні. Для такого своєрідного обліку мисливець, наприклад, зберігав у пам'яті характерну ознаку кожної своєї собаки. Могла бути собака з білими цятками, з рваним вухом, подарована сусідом і т.д. Коли мисливець - абіпон (плем'я з Південної Америки), збирався на полювання, то, оглядаючи зграю своїх чотириногих друзів, він мисленно (і, зрозуміло, несвідомо) здійснював операцію встановлення взаємно однозначної відповідності між множиною собак, які були біля нього, і множиною характерних ознак всіх його собак. Якщо хоч однієї з собак не було, то взаємно однозначна відповідність не реалізувалась і доводилось розшукувати одну або кілька собак для “ незайнятих” ознак.

Деякі племена, обмінюючи продукти між собою або з купцями, розкладали їх у два ряди і так фактично встановлювали взаємно однозначну відповідність між предметами обміну. Таким чином людина навчалась порівнювати множини з досить великою кількістю елементів. Туземці Центральної Африки, які вміли рахувати лише до трьох, вправно обмінювали у заморських купців кілька десятків слонових ікол на пачки тютюну, не боячись, що їх “ обрахують “(зрозуміло, в межах встановлених норм обміну). Першим кроком до виникнення лічби була операція зіставлення предметів, які потрібно перерахувати, з елементами деякої множини - еталона, яку людина добре знала і пам'ятала. Хоча й стосовно цієї, вже “ засвоєної “, множини вона ще не могла сказати: “скільки “ в ній предметів. Просто вона так часто зустрічала цю сукупність об'єктів, що могла порівнювати з нею решту. Тоді говорили, що якихось предметів стільки, скільки крил, ніг або очей у птаха, або скільки рук, очей, або ніг у людини, скільки пальців у страуса, пальців на руці людини, пальців на обох руках і т.д. З багатьох множин - еталонів людина зрештою вибирала одну, найбільш придатну для лічби, яка складалась з більш - менш однорідних елементів і завжди була з нею. Природно, що цією множиною - еталоном стали пальці однієї, потім обох рук, а подекуди і ніг людини. На цій стадії лічбу починали з мізинця лівої руки, перебирали всі пальці, потім переходили до зап'ястка , ліктя, плеча і т.д. до мізинця правої руки, після того, якщо сукупність не вичерпувалась, йшли у зворотньому порядку. У остров'ян Торресової протоки на людському тілі показувати так до 33. Якщо сукупність не мала понад 33 елементи, то вдавались до паличок. Саме та обставина, що при вичерпуванні всіх частин тіла вони вдавалися до паличок (причому всі палички приблизно однакові), дає нам ключ до розуміння початкового призначення такої “ живої шкали “. Пізніше було знайдено і інші замінники конкретних предметів, які треба було перерахувати : камінці, черепашки, палички, вузли, зарубки на дереві тощо. У згадуваних вже абіпонів “п'ять “ називалось “ рука “, десять - “дві руки “, двадцять - “руки і ноги “.Відповідні слова ще не числівники, вони лише говорять про те, що йдеться про таку кількість предметів , скільки очей у птаха чи людини, пальців на нозі страуса тощо. Чисельність на цьому етапі є ще однією з властивостей поряд з такими, як колір, смак, форма, розмір тощо. Тут є тільки числа - властивості, числа - якості, невід'ємні від сукупностей певних предметів. У туземців Флориди “на куа “ означає 10 яєць, “ на - банар “ - 10 корзин, але окремо “ на”, якому б відповідало число 10 , не вживається. Однак наявність тієї самої приставки в усіх еквівалентних множинах різних предметів означає, що людина вже зрозуміла існування чогось спільного в усіх цих множинах.