Розв'язування задач на відсотки за допомогою пропорцій

Нехай у школі є 50 шестикласників. Тоді:

10% шестикласників — це 50 • 0,1 =5 (учнів); 20% шестикласників — це 50 • 0,2 = 10 (учнів); 40% шестикласників — це 50 • 0,4 = 20 (учнів). Яка існує залежність між числом відсотків і кількістю учнів, що відповідає цим відсоткам?

У скільки разів збільшується число відсотків, у стільки ж разів збільшується кількість учнів, що відповідає цим відсоткам.

Отже, число відсотків деякої величини прямо пропорційне значенню величини, що відповідає цим відсоткам.

Пам'ятаємо, що 100% деякої величини — це сама величина.

Задача 1. Зі свіжих слив виходить 21% сушених. Скільки сушених слив можна отримати з 80 кг свіжих?

• Нехай з 80 кг свіжих слив можна отримати х кг сушених. Свіжі сливи становлять 100%, а сушені — 21%. Запишемо умову задачі у вигляді схеми:

80 кг — 100%;

х кг — 21%.

Яка залежність між масою син; та числом відсотків, що становить ця маса від маси свіжих слив?

Маса слив прямо пропорційна кількості відсотків, що становить ця маса від маси свіжих слив, тому:

Відповідь. 16,8 кг. •

Задача 2. Банк дав підприємцеві кредит 10 000 грн. зі ставкою 7% річних. Яку суму повинен повернути підприємець банкові через півроку?

• Якщо відсоткова ставка за рік становить 7%, то за півроку буде нараховано 7% • 0,5 = 3,5% від початкової суми, тобто 10000 • 0,035 = 350 (грн.). Підприємець повинен повернути банку 10 000 + 350 = 10 350 (гри.).

Відповідь. 10 350 грн.

Розв’язування задач на відсотки з використанням інтерактивних методів навчання

Для поліпшення розуміння, закріплення та відтворення інформації доцільно проводити такі уроки як: урок-змагання; урок-вікторина, урок – «круглий стіл»; урок-гра та ін. Щоб зацікавленість учнів до вивчення математики не знижувалась, доречно систематично проводити ігри з використанням інтерактивних технологій.

План бінарного уроку з математики в 6 класі в системі особистісно зорієнтованого навчання на тему "Розв’язування задач на відсотки" з використанням інтерактивних методів навчання

Тема. Розв’язування задач на відсотки

Мета. Формувати навички розв’язування задач на відсотки, розвивати в учнів усну і письмову культуру мовлення, логічне мислення, заохочувати учнів до самостійної навчальної діяльності, виховувати у них позитивну мотивацію до навчання, відповідальність за власні навчальні досягнення.

Очікувані результати.

   Після уроку учні зможуть:

   - перетворювати відсотки у дріб,

   - знаходити відсоток від числа,

   - знаходити число за його відсотком,

   - знаходити відсоткове відношення двох величин,

   - знаходити, на скільки відсотків змінилася величина.

   Тип уроку: засвоєння вмінь і навичок.

   Обладнання: картки із завданнями "Дидактичні матеріали для тематичних атестацій з математики, 6 клас" за редакцією А. Капіносова; збірник завдань для державної підсумкової атестації з алгебри, 9 клас за редакцією З.І. Слепкань.

Хід уроку.

I. Етап орієнтації.

   Мотивація навчальної діяльності.

   Пропоную учням девіз уроку: "Сім разів подумай, один раз розв’яжи".

   Бесіда

   Задачі на відсотки включені у збірник завдань для державної підсумкової атестації з алгебри у 9 класі, а також у збірники вступних іспитів з математики у вищі навчальні заклади. Тому засвоєння цієї теми є дуже важливим.

II. Етап повідомлення теми, мети, завдань уроку та очікуваних навчальних результатів.

III. Етап проектування.

   Надання необхідної інформації

   Для успішного розв’язування задач на відсотки необхідно пригадати:

   - як перетворити відсоток у дріб,

   - як знайти відсоток від числа,

   - як знайти число за його відсотком

   - як знайти відсоткове відношення двох величин,

   - як знайти, на скільки відсотків змінилася величина.

   Відповіді на ці питання ми дамо в процесі дидактичної гри "Математичний волейбол". Учні класу об’єднані у п’ять груп по шість осіб у кожній.

   I і II групи ─ це перша команда, III і IV групи ─ друга команда, а V група ─ судді.

   За вказівкою вчителя одна з команд "вводить м’яч в гру" ─ пропонує завдання, адресуючи його конкретному гравцеві іншої команди. Вказаний гравець повинен "прийняти м’яч" (дати відповідь на питання), після чого "посилає м’яч" на поле суперника ─ пропонує своє питання конкретному гравцеві команди суперника.

   Гра триває 6 ─ 7 хвилин.

   Якщо завдання поставлено невірно, то "м’яч виходить за межі поля" ─ гравець команди суперників, не відповідаючи, ставить своє запитання.

   У випадку, коли названий гравець не може впоратись із завданням, він має право "перепасувати м’яч" іншому гравцеві своєї команди, назвавши його прізвище.

   Кожне завдання можна "перепасувати" лише один раз. Час знаходження відповіді обмежений – не більше 30 секунд.

   Якщо гравець не встиг відповісти або дав невірну відповідь, то його команді "забито м’яч".

   Суддями в кінці гри підводиться підсумок, оголошується команда-переможець, відзначаються кращі гравці.

IV. Організація виконання плану діяльності

   Інтерактивна вправа ─ центральна частина заняття.

   Пропоную учням задачі на картках, де потрібно вибрати правильну відповідь з чотирьох запропонованих. Кожен учень працює самостійно, потім результати обговорюються в групі. І в кінці уроку вчитель перевіряє правильність розв’язку (картки з завданнями додаються ─ задачі взяті зі збірника завдань для державної підсумкової атестації з алгебри у 9 класі).

   На другому уроці учні працюють у групах, розв’язуючи задачі з дидактичних матеріалів на сторінці 9 (IV рівень). При розв’язуванні задач використовую такий вид діяльності на уроці як "Акваріум". Спочатку в "Акваріумі" працюють учні першої групи. Учні цієї групи починають обговорювати розв’язання першої задачі. Група, що працює, керується таким алгоритмом:

   - обговоріть способи її розв’язання, використовуючи метод дискусії;

   - дійдіть спільного рішення за 3-5 хвилин.

   Усі інші учні груп мають тільки слухати, не втручаючись у хід обговорення, спостерігають, чи відбувається дискусія за визначеними правилами.

   Після закінчення 3-5 хвилин учні решти груп обговорюють питання:

   - чи погоджуються вони з думкою певної групи;

   - чи була ця думка достатньо аргументованою;

   - чи є цей спосіб розв’язування раціональним.

   Кожна група по черзі побуває в "Акваріумі".

   Обговоривши раціональний спосіб, учні розв’язують запропоновані задачі.

V. Контрольно-оцінювальний етап.

   Підведення підсумків, оцінювання навчальних досягнень учнів, мотивація оцінок.

   При підведенні підсумків звертаю увагу учнів на очікувані результати уроку і, передаючи уявний мікрофон, з’ясовую:

   - чи досяг очікуваних результатів кожен учень та клас у цілому (при цьому учні обговорюють відповідь)?

   - що могло б бути організовано краще, корисніше?

   - над якими навичками, вміннями ще треба працювати?

Таким чином, досягається основна мета особистісно зорієнтованого уроку ─ створення оптимальних умов для виявлення пізнавальної, розвивальної активності учнів, створюється атмосфера творчої невимушеності, що допомагає кожній дитині виявити свої здібності.

План-конспект уроку з математики "Практичне застосування відсотків"( 5 клас)

План-конспект уроку формування умінь і навичок із математики в 5 класі, ставить за мету виховувати в учнів позитивну мотивацію до навчання, відповідальність за власні навчальні досягнення

Мета уроку:

    * дидактична: формувати навички розв’язування задач на відсотки, розвивати в учнів усну і письмову культуру мовлення, логічне мислення, заохочувати учнів до самостійної навчальної діяльності, виховувати у них позитивну мотивацію до навчання, відповідальність за власні навчальні досягнення;

    * розвивальна: розвивати цікавість учнів до математики, прагнення краще вчити предмет; здатність до творчого застосування знань і вдосконалення умінь, до забезпечення переносу знань і способів дій у нові умови;

    * виховна: виховувати допитливість, уважність, натхнення, любов до навчання та вміння працювати разом.

Тип уроку: формування практичних умінь та навичок.

Обладнання: таблиця "Відсотки", завдання для групової роботи, зразки банківських платівок, квитанцій, рекламні буклети.

Задачі уроку:

    * закріпити теоретичні знання з теми "Відсотки";

    * удосконалити практичні уміння та навички розв’язувати задачі на відсотки;

    * оцінити рівень засвоєння учнями знань та вмінь розв’язувати задачі на відсотки.

Очікувані результати. Після уроку учні удосконалюють вміння:

    * перетворювати відсотки у дріб;

    * знаходити відсоток від числа;

    * знаходити число за його відсотком.

Розв’язування задач на відсотки в 5-9 класах

                   Різновиди задач на відсотки

5. Із молока, жирність якого 5 %, виготовляють сир жирністю 15,5 %. При цьому залишається сироватка жирністю 0,5 %. Скільки сиру вийде з 1 т молока?

Розв'язання

Якщо жирність молока 5 %, то в 1 т молока міститься 1000 ∙ 0,05 = 50 (кг) жиру. Така сама кількість жиру міститься у сирі та сироватці. Нехай кількість сиру х .кг, тоді 0, 155х кг — кількість жиру в сирі, a 0,005(1000 – х) кг — кількість жиру в сироватці, Складаємо рівняння.

0,155х + 0,005(1000 – х) = 50,

0, 155* +5-0,005* = 50,

0,15х = 45,

х = 300.

Відповідь. 300 кг.

6. Ціну товару спочатку знизили на 20 %, потім нову ціну знизили ще на 15 % і, остаточно, після перерахунку ціну знизили ще на 10 %. На скільки відсотків всього знизили початкову ціну товару?

Розв'язання

Нехай х гр. од. — початкова ціна товару, тоді 0,2х гр. од. — перше зниження;

х – 0, 2х = 0,08х — ціна після першого зниження.

0,15 – 0, 8х = 0,12х — друге зниження;

0, 8х – 0, 12х = 0,68х — ціна після другого зниження.

0,1 • 0, 68х = 0,068х — третє зниження (остаточне);

0,68х-0,068х=0,612х — ціна після третього зниження.

Знайдемо різницю між початковою ціною та ціною після останнього зниження:

х -0,612х = 0,388х.

Отже, початкову ціну знизили на 38,8 %.

Відповідь. На 38,8%.

7. З 11 кг свіжих грибів одержали 1 кг 250 г сухих грибів, які містять 12 % води. Який відсоток води у свіжих грибах?

Розв'язання

Знайдемо масу грибної речовини в 11 кг свіжих грибів:

1,250-0,12 • 1,250 = 1,1 (кг).

Обчислимо відсоткове відношення грибної речовини до свіжих грибів:

(1,1:11) • 100% = 10%.

Отже, грибна речовина у свіжих грибах становить 10 %, тоді води у свіжих грибах:

100% – 10% = 90%.

Відповідь. 90 %.

8. Свіжі гриби містять за масою 90 % води, а сухі — 12% води. Скільки вийде сухих грибів з 22кг свіжих?

Розв’язання

Відсотковий вміст маси грибної речовини у свіжих грибах становить

100%-90% = 10%.

Знайдемо грибну масу у 22 кг свіжих грибів:

0,1 • 22=2,2 (кг).

Оскільки сухі гриби містять 12 % води, то грибна маса становить

100%-12% = 88%.

Обчислимо число за відсотком:

2,2:0,88 = 2,5.

Відповідь. 2,5 кг.

9. Овочі масою 10 т мали вологість 97 %. Після тижня перебування на базі вологість овочів становила 94 %. Яка тепер маса овочів?

Розв’язання

Відсотковий вміст твердої речовини у 10 т овочів становить

100%-97%-3%,

тобто

10000-0,03 = 300 (кг) –

маса твердої речовини.

Після тижня перебування на базі вологість стала 94 %, тобто тверда речовина становить 6%.

Знайдемо число за відсотком:

300:0,06=5000 (кг) — такою стала маса овочів.

Відповідь. 5т.

10. Тонна овочів має вологість 98 %. Через певний час вологість стала 99 %. Яка тепер маса овочів?

Розв’язання

Маса твердої речовини у тонні овочів:

1000 • 0,02 = 20 (кг).

Оскільки вологість змінилася, то змінився і відсотковий вміст твердої речовини. Тепер він становить

100% - 99% = 1%.

Знайдемо масу овочів після зміни вологості, якщо 1% дорівнює 20, тобто

20:0,01 = 2000 (кг)= 2 (т).

Відповідь. 2т.

11. В ощадний банк поклали 9000 гри. Через рік сума вкладу дорівнювала 9945 гри. Під який відсоток покладено вклад?

Розв’язання

9945 — 9000 = 945 (гри) — зміна вкладу.

Знайдемо відсоткове відношення змії вкладу до початкової суми через рік:

945 : 9000 • 100% = 10,5%.

Відповідь. Вклад поклали під 10,5 % річних.

12. Взимку ціна на молоко підвищилася на 20 %, а навесні знизилася на 20 %. Як змінилася початкова ціна молока?

Нехай х гр. од. — шишкова ціна молока, тоді 1,2х — ціна молока після підвищення,

0,8 • 1,2х=0,96х — ціна молока після зниження

Відповідь. Початкова ціна зменшилася на 4%.

13. Від рейки відрізали частину, що становить 72 % від її довжини. Маса шматка, що залишився, дорівнює 45,2кг. Знайти масу відрізаної частини.

Розв'язання

Шматок рейки, що залишився, має довжину, яка становить 28 % від її загальної довжини.

Отже, 28 % відповідає маса 45,2 кг. Встановимо, скільки кілограмів припадає на 1 %, і помножимо на 72. Одержане число відповідатиме масі відрізаної частини.

452:28 • 72 = 1162 (кг).

Або складаємо рівняння:

0,28x=45,2,

де х — маса рейки.

х =161,4.

Тоді

161,4 - 45,2 = 116,2 (кг) — маса відрізаної частини.

Відповідь. 116,2 кг.

14. Чи зміниться число і як, якщо його спочатку збільшити на 15 %, а потім зменшити знайдене число на 15 %?

Розв'язання

Нехай х — дане число.

х +0,15х = 1,15х — число після збільшення на 15%.

l,15х-0,15 • 1,15х = 1,15х – 0,1725х =0,9775х – число після зменшення на 15 %.

Порівняємо початкове число з одержаним:

х – 0,9775х = 0,0225х.

Відповідь. Число зменшиться на 2,25 %.

15. Трава втрачає при висиханні 28 % своєї маси. Скільки було викошено трави, якщо з неї одержали 144 ц сіна?

Розв'язання

Нехай було викошено х ц трави, 0,28х ц — маса трави, втрачена при висиханні.

х – 0,28х = 0,72х (ц) — маса сіна, що за умовою дорівнює 144 ц.

Складаємо рівняння:

0, 72х = 144,

х = 200.

Відповідь. 200 ц.